4313. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник ABM
, быть ровно в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM
?
Ответ. Не может.
Указание. Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Решение. Предположим, что это так. Поскольку площади треугольников ABM
и ACM
равны, а радиус вписанной окружности треугольника ABM
в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM
, то периметр треугольника ACM
вдвое больше периметра треугольника ABM
(площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности). Поэтому
2(AB+BM+MA)=AC+CM+MA,
откуда
AC=CM+MA+2AB\gt CM+MA,
что противоречит неравенству треугольника.