4313. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник ABM
, быть ровно в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM
?
Ответ. Не может.
Указание. Площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
Решение. Предположим, что это так. Поскольку площади треугольников ABM
и ACM
равны, а радиус вписанной окружности треугольника ABM
в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM
, то периметр треугольника ACM
вдвое больше периметра треугольника ABM
(площадь треугольника равна его полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности). Поэтому
2(AB+BM+MA)=AC+CM+MA,
откуда
AC=CM+MA+2AB\gt CM+MA,
что противоречит неравенству треугольника.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, X, осенний тур, младшие классы, тренировочный вариант
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 720, с. 90