4315. Длины сторон остроугольного треугольника — последовательные целые числа. Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.
Решение. Пусть стороны треугольника равны n-1
, n
и n+1
(n\gt2
), отрезки, на которые высота делит основание, равны x
и y
, высота, опущенная на сторону, равную n
, равна h
. Тогда
(y-x)n=(y-x)(y+x)=y^{2}-x^{2}=
=(y^{2}+h^{2})-(x^{2}+h^{2})=(n+1)^{2}-(n-1)^{2}=4n.
Отсюда находим, что y-x=4
.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XI, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант