4316. На стороне BC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) взяли точки N
и M
(N
ближе к B
, чем M
) такие, что NM=AM
и \angle MAC=\angle BAN
. Найдите \angle CAN
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим
\angle MAC=\angle BAN=\alpha,~\angle NAM=\angle ANM=\varphi.
Поскольку AMC
— внешний угол треугольника AMN
, то
\angle AMC=\angle NAM+\angle ANM=2\varphi.
Сумма углов треугольника AMC
равна 180^{\circ}
, а \angle ACM=\angle CAB=2\alpha+\varphi
. Поэтому
(2\alpha+\varphi)+2\varphi+\alpha=3(\alpha+\varphi)=180^{\circ}.
Следовательно,
\angle CAN=\angle CAM+\angle MAN=\alpha+\varphi=\frac{1}{3}\cdot180^{\circ}=60^{\circ}.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1993/1994, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 1183, с. 123