4317. В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB
и CD
. На отрезке AB
взяли точку M
так, что AM=AC
, а на отрезке CD
— точку N
так, что DN=DB
. Докажите, что если точки M
и N
не совпадают, то прямая MN
параллельна прямой AD
.
Решение. Поскольку \angle CAB=\angle CDB
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то \angle CMB=\angle CNB
как внешние углы равнобедренных треугольников ACM
и DBM
с соответственно равными углами. Таким образом, отрезок BC
виден из точек M
и N
под одним и тем же углом. Значит, эти точки лежат на одной окружности. Поэтому
\angle BMN=\angle BCN=\angle BAD.
Следовательно, MN\parallel AD
.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1993-94, 9 класс.