4319. В шестиугольнике ABCDEF
, вписанном в окружность, AB=BC
, CD=DE
, EF=FA
. Докажите, что площадь треугольника BDF
равна половине площади шестиугольника.
Решение. Обозначим
\angle CBD=\alpha,~\angle ABF=\beta,~\angle CDB=\gamma.
Тогда угловые меры дуг CD
, AF
и BC
, на которые опираются эти углы, соответственно равны 2\alpha
, 2\beta
и 2\gamma
. Значит, равные им дуги DE
, EF
и AB
также равны соответственно 2\alpha
, 2\beta
и 2\gamma
.
Угол DBF
равен половине дуги DEF
, т. е. \angle DBF=\alpha+\beta
. Аналогично \angle BDF=\beta+\gamma
и \angle BFD=\alpha+\gamma
.
При симметрии относительно прямой BD
точка C
переходит в некоторую точку P
. При этом
\angle PBD=\angle CBD=\alpha,~\angle PDB=\angle CDB=\beta,~\triangle BPD=\triangle BCD.
Тогда
\angle PDF=\angle BDF-\angle PDB=(\beta+\gamma)-\gamma=\beta=\angle EDF,
\angle PBF=\angle DBF-\angle PBD=(\alpha+\beta)-\alpha=\beta=\angle ABF,
а так как DE=DC=DP
и AB=BP
, то треугольник DPF
равен треугольнику DEF
, а треугольник BPF
— треугольнику BAF
(по двум сторонам и углу между ними).
Значит, площадь треугольника BDF
равна сумме площадей треугольников BPD
, DPF
и BPF
. Отсюда следует, что площадь треугольника BDF
равна половине площади данного шестиугольника.