4321. Если повернуть квадрат вокруг его центра на
45^{\circ}
, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как
a:b:a
(эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях
a:b:a
и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Решение. Сначала вычислим отношения
a:b:a
. Пусть при повороте квадрата
ABCD
(рис. 1) со стороной 2 относительно его центра
O
вершина
A
перешла в точку
A'
, вершина
C
— в точку
C'
, а вершина
D
— в точку
D'
. Пусть также сторона
AD
данного квадрата пересекается с отрезками
A'D'
,
OD'
и
C'D'
в точках
K
,
L
и
M
соответственно. Ясно, что
L
— середина стороны
AD
и
AK=DM
.
Обозначим
LD'=x
. Тогда
\sqrt{2}=OD'=OL+LD'=1+x~\Rightarrow~x=\sqrt{2}-1~\Rightarrow~KL=LD'=x=\sqrt{2}-1~\Rightarrow

~\Rightarrow~AK=AL-LK=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}~\Rightarrow~\frac{AK}{KM}=\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Следовательно,
a:b:a=AK:KM:MD=1:\sqrt{2}:1.

Рассмотрим теперь произвольный выпуклый четырёхугольник
ABCD
(рис. 2). Заметим, что стороны второго четырёхугольника параллельны диагоналям четырёхугольника
ABCD
, так как каждая из этих сторон по условию делит стороны данного в одинаковых отношениях.
Пусть точки
P
и
Q
лежат на стороне
AB
, причём
AP:PQ:QB=1:\sqrt{2}:1
. Пусть также прямая
l_{1}
, проходящая через точку
P
параллельно диагонали
BD
, пересекает диагональ
AC
в точке
S
, прямая
l_{2}
, проходящая через точку
Q
параллельно
AC
, пересекает диагональ
BD
в
T
, а прямые
l_{1}
и
l_{2}
пересекаются в точке
R
.
Поскольку треугольники
APS
и
QPR
подобны с коэффициентом
\frac{1}{\sqrt{2}}
, то площадь первого равна половине площади второго. Точно так же докажем, что площадь треугольника
BQT
вдвое меньше площади треугольника
QPR
. Значит,
S_{\triangle PQR}=S_{\triangle APS}+S_{\triangle BQT}.

Аналогично для остальных добавленных и отсечённых треугольников. Следовательно, сумма площадей четырёх добавленных треугольников равна сумме площадей четырёх отсечённых, что и требовалось.