4321. Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45^{\circ}
, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как a:b:a
(эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях a:b:a
и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Решение. Сначала вычислим отношения a:b:a
. Пусть при повороте квадрата ABCD
(рис. 1) со стороной 2 относительно его центра O
вершина A
перешла в точку A'
, вершина C
— в точку C'
, а вершина D
— в точку D'
. Пусть также сторона AD
данного квадрата пересекается с отрезками A'D'
, OD'
и C'D'
в точках K
, L
и M
соответственно. Ясно, что L
— середина стороны AD
и AK=DM
.
Обозначим LD'=x
. Тогда
\sqrt{2}=OD'=OL+LD'=1+x~\Rightarrow~x=\sqrt{2}-1~\Rightarrow~KL=LD'=x=\sqrt{2}-1~\Rightarrow
\Rightarrow~AK=AL-LK=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}~\Rightarrow~\frac{AK}{KM}=\frac{2-\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
a:b:a=AK:KM:MD=1:\sqrt{2}:1.
Рассмотрим теперь произвольный выпуклый четырёхугольник ABCD
(рис. 2). Заметим, что стороны второго четырёхугольника параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD
, так как каждая из этих сторон по условию делит стороны данного в одинаковых отношениях.
Пусть точки P
и Q
лежат на стороне AB
, причём AP:PQ:QB=1:\sqrt{2}:1
. Пусть также прямая l_{1}
, проходящая через точку P
параллельно диагонали BD
, пересекает диагональ AC
в точке S
, прямая l_{2}
, проходящая через точку Q
параллельно AC
, пересекает диагональ BD
в T
, а прямые l_{1}
и l_{2}
пересекаются в точке R
.
Поскольку треугольники APS
и QPR
подобны с коэффициентом \frac{1}{\sqrt{2}}
, то площадь первого равна половине площади второго. Точно так же докажем, что площадь треугольника BQT
вдвое меньше площади треугольника QPR
. Значит,
S_{\triangle PQR}=S_{\triangle APS}+S_{\triangle BQT}.
Аналогично для остальных добавленных и отсечённых треугольников. Следовательно, сумма площадей четырёх добавленных треугольников равна сумме площадей четырёх отсечённых, что и требовалось.
Автор: Савин А. П.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XI, весенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 6, с. 28, М1226
Источник: Задачник «Кванта». — М1226