4322. Четырёхугольник ABCD
— ромб. На стороне BC
взята точка P
. Через точки A
, B
и P
проведена окружность, которая пересекается с прямой BD
ещё раз в точке Q
. Через точки C
, P
и Q
проведена окружность, которая пересекается с BD
ещё раз в точке R
. Докажите, что точки A
, R
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Из теоремы о вписанных углах следует, что
\angle BAP=\angle BQP=\angle RQP=\angle RCP=\angle RCB,
а так как ромб симметричен относительно прямой BD
, то
\angle RCB=\angle BAR.
Значит, \angle BAP=\angle BAR
. Следовательно, точки A
, R
и P
лежат на одной прямой.