4326. Стороны AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
равны соответственно сторонам A'B'
, B'C'
, C'D'
и D'A'
четырёхугольника A'B'C'D'
, причём известно, что AB\parallel CD
и B'C'\parallel D'A'
. Докажите, что оба четырёхугольника — параллелограммы.
Решение. Обозначим AB=A'B'=a
, BC=B'C'=b
, CD=C'D'=c
, AD=A'D'=d
. Предположим, что a\ne c
и b\ne d
. Не ограничивая общности, будем считать, что a\gt c
и d\gt b
.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{CD}
точка B
переходит в точку E
, лежащую на отрезке AB
, причём AE=a-c
и DE=b
. По неравенству треугольника a-c\gt d-b
.
При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{B'C'}
точка A'
переходит в точку E'
, лежащую на отрезке A'D'
, причём D'E'=d-b
и C'E'=a
. По неравенству треугольника d-b\gt a-c
, что противоречит предыдущему неравенству.
Пусть теперь a=c
. Поскольку AB\parallel CD
, то ABCD
— параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны. Поэтому противоположные стороны четырёхугольника A'B'C'D'
также равны, и он тоже параллелограмм.
Аналогично, для случая b=d
.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Турнир городов. — 1989-1990, XII, осенний тур, младшие классы, основной вариант