4328. Каждая из трёх окружностей радиусов соответственно 1, r
и r
извне касается двух других. При каких значениях r
существует треугольник, описанный около этих окружностей? (Все окружности лежат внутри треугольника, каждая касается двух сторон треугольника и каждая сторона треугольника касается двух окружностей.)
Ответ. \frac{1}{2}\lt r\lt4
.
Решение. Понятно, что допустимые значения r
ограничены значениями r_{\min}
и r_{\max}
«крайних» случаев, показанных на рисунках 1 и 2.
Очевидно, что r_{\min}=\frac{1}{2}
. Найдём r_{\max}
.
Пусть окружности радиусов r
, 1 и r
с центрами O_{1}
, O
и O_{2}
касаются некоторой прямой в точках A
, B
и C
соответственно. Тогда
AC=O_{1}O_{2}=2r,~AB=BC=2\sqrt{1\cdot r}=2\sqrt{r}
(см. задачу 365), а так как AB+BC=AC
, то получаем уравнение 2r=4\sqrt{r}
, из которого находим, что r=4
.