4330. Неравенство Эрдёша. Точка P
, лежащая на большей из двух дуг AB
окружности, соединена с серединой M
меньшей дуги AB
. Хорды PL
и PM
пересекают хорду AB
соответственно в её середине K
и в некоторой точке N
. Сравните отрезки KL
и MN
.
Ответ. KL\leqslant MN
.
Указание. Рассмотрите симметрию относительно прямой MK
. Далее примените метод вспомогательной окружности.
Решение. Прямая KM
проходит через середины дуги AB
и середину хорды AB
, поэтому прямая MK
содержит диаметр окружности. Значит, окружность симметрична относительно этой прямой.
Предположим, что точка P
отлична от середины большей дуги AB
(иначе KL=MN
). Пусть P'
— точка, симметричная точке P
относительно прямой MK
. Тогда P'
лежит на окружности, PP'\parallel AB
, а точка N'
пересечения отрезков AB
и MP'
симметрична точке N
относительно MK
. Поэтому MN=MN'
.
Из теоремы о вписанных углах следует, что
\angle KN'M=\angle PP'M=\angle PLM.
Значит, из точек N'
и L
отрезок MK
виден под одним и тем же углом, причём эти точки лежат по одну сторону от MK
. Поэтому, точки K
, M
, L
и N'
лежат на одной окружности, а так как MK\perp AB
, то MN'
— диаметр этой окружности. Следовательно,
MN=MN'\gt KL
(диаметр есть наибольшая хорда окружности).
