4331. В описанном пятиугольнике ABCDE
диагонали AD
и CE
пересекаются в центре O
вписанной окружности. Докажите, что отрезок BO
и сторона DE
перпендикулярны.
Решение. Пусть P
, Q
, R
, S
и T
— точки касания вписанной в пятиугольник ABCDE
окружности со сторонами AE
, AB
, BC
, CD
и DE
соответственно. Обозначим
\angle AOP=\angle AOQ=\alpha,~\angle BOQ=\angle BOR=\beta,~\angle COR=\angle COS=\gamma,
\angle DOS=\angle DOT=\delta,~\angle EOT=\angle EOP=\varphi.
Поскольку углы AOE
и COD
— вертикальные, то
\alpha+\varphi=\angle AOE=\angle DOC=\gamma+\delta~\Rightarrow
\Rightarrow\angle QOT=2(\alpha+\varphi)=2(\gamma+\delta)=\angle ROT.
Прибавив \beta
к каждой части последнего равенства, получим, что \angle BOT=180^{\circ}
. Следовательно, точки B
, O
и T
лежат на одной прямой. Поскольку OT\perp DE
, то BO\perp DE
.