4333. Внутри угла расположены две окружности с центрами A
и B
. Они касаются друг друга и двух сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB
касается сторон угла.
Указание. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Решение. Пусть окружность радиуса r
с центром A
касается стороны угла в точке A_{1}
, окружность радиуса R
с центром B
касается той же стороны угла в точке B_{1}
, а O_{1}
— проекция центра O
окружности с диаметром AB
на эту сторону.
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому AB=r+R
. Значит, радиус окружности с центром O
равен \frac{r+R}{2}
.
С другой стороны, отрезок OO_{1}
— средняя линия прямоугольной трапеции AA_{1}B_{1}B
. Поэтому
OO_{1}=\frac{AA_{1}+BB_{1}}{2}=\frac{r+R}{2}=\frac{1}{2}AB.
Следовательно, окружность с центром O
касается стороны угла.
Автор: Прасолов В. В.
Источник: Турнир городов. — 1991-1992, XIII, осенний тур, старшие классы, тренировочный вариант