4337. В трапеции ABCD
(AD
— основание) диагональ AC
равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60^{\circ}
. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Указание. Перенесите диагональ AC
на вектор \overrightarrow{CB}
.
Решение. Пусть BD=AD+BC
, а диагонали трапеции пересекаются в точке O
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с прямой AD
. Тогда AKBC
— параллелограмм, поэтому \angle KBD=\angle AOD
и
AK=BC,~KB=AC=BC+AD=AK+AD=KD.
Значит, треугольник KBD
— равнобедренный (KB=KD
). Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника — острые, то угол KBD
не может быть равен 120^{\circ}
. Следовательно, он равен 60^{\circ}
. Тогда треугольник KBD
— равносторонний. Поэтому KB=BD=AC
, т. е. диагонали трапеции равны между собой. Значит, она равнобедренная.
Автор: Смирнов С. К.
Источник: Турнир городов. — 1991-1992, XIII, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1992, 8 кл.
Источник: Петербургские математические олимпиады 1961—1993 / Под ред. Д. В. Фомина, К. П. Кохася. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2007. — Задача 92.16