4337. В трапеции ABCD
(AD
— основание) диагональ AC
равна сумме оснований, а угол между диагоналями равен 60^{\circ}
. Докажите, что трапеция равнобедренная.
Указание. Перенесите диагональ AC
на вектор \overrightarrow{CB}
.
Решение. Пусть BD=AD+BC
, а диагонали трапеции пересекаются в точке O
. Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с прямой AD
. Тогда AKBC
— параллелограмм, поэтому \angle KBD=\angle AOD
и
AK=BC,~KB=AC=BC+AD=AK+AD=KD.
Значит, треугольник KBD
— равнобедренный (KB=KD
). Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника — острые, то угол KBD
не может быть равен 120^{\circ}
. Следовательно, он равен 60^{\circ}
. Тогда треугольник KBD
— равносторонний. Поэтому KB=BD=AC
, т. е. диагонали трапеции равны между собой. Значит, она равнобедренная.
