4338. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Биссектрисы внешних углов треугольника продолжены до пересечения с продолжениями сторон. Докажите, что одна из трёх полученных точек есть середина отрезка, соединяющего две другие.
Решение. Первый способ. Пусть вершины A
, B
и C
данного треугольника имеют координаты (4;0)
, (0;3)
и (0;0)
соответственно; A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания биссектрис внутренних углов, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— основания биссектрис внешних углов.
Прямые AB
и CC_{2}
имеют уравнения
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=1~\mbox{и}~x+y=0
соответственно. Поэтому точка C_{2}
имеет координаты (-12;12)
.
Легко проверить, что точки A_{1}
и B_{1}
имеют координаты \left(0;\frac{4}{3}\right)
и \left(\frac{3}{2};0\right)
соответственно.
Из подобий треугольников ACA_{1}
, A_{2}CA
, BCB_{1}
, B_{2}CB
находим координаты точек A_{2}
и B_{2}
; они равны (0;-12)
и (-6;0)
соответственно.
Точка B_{2}(-6;0)
является серединой отрезка с концами в точках C_{2}(-12;12)
и A_{2}(0;-12)
.
Второй способ. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный. Пусть вершины BC=3
, AC=4
и AB=5
. Обозначим через A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— основания биссектрис внешних углов при вершинах A
, B
и C
соответственно.
Поскольку биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешним образом) сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, то
\frac{CA_{2}}{CA_{2}+3}=\frac{CA_{2}}{CA_{2}+BC}=\frac{CA_{2}}{A_{2}B}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}.
Отсюда находим, что CA_{2}=12
. Аналогично находим, что CB_{2}=6
и BC_{2}=15
.
Из прямоугольного треугольника A_{2}CB_{2}
находим, что
A_{2}B_{2}=\sqrt{A_{2}C^{2}+B_{2}C^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6\sqrt{5}.
Из прямоугольного треугольника AA_{2}C
находим, что
AA_{2}=\sqrt{A_{2}C^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+12^{2}}=4\sqrt{10}.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Зная, что
\cos\alpha=\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5},
по теореме косинусов из треугольника AB_{2}C_{2}
находим, что
B_{2}C_{2}=\sqrt{AB_{2}^{2}+AC_{2}^{2}-2AB_{2}\cdot AC_{2}\cos\alpha}=\sqrt{10^{2}+20^{2}-2\cdot10\cdot20\cdot\frac{4}{5}}=6\sqrt{5}.
.
Заметим, что
\angle A_{2}AB_{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
\angle A_{2}AC_{2}=\angle A_{2}AB_{2}+\angle B_{2}AC_{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+\alpha=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Поэтому
\cos A_{2}AC_{2}=\cos\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=-\sin\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}.
По теореме косинусов из треугольника A_{2}AC_{2}
находим, что
A_{2}C_{2}=\sqrt{AA_{2}^{2}+AC_{2}^{2}-2AA_{2}\cdot AC_{2}\cos\angle A_{2}AC_{2}}=
=\sqrt{(4\sqrt{10})^{2}+20^{2}-2\cdot4\sqrt{10}\cdot20\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}=12\sqrt{5}.
Таким образом, A_{2}B_{2}=B_{2}C_{2}
и A_{2}B_{2}+B_{2}C_{2}=A_{2}C_{2}
. Следовательно, точка B_{2}
— середина отрезка A_{2}C_{2}
.