4340. а) В треугольнике ABC
угол A
больше угла B
. Докажите, что BC\gt\frac{1}{2}AB
.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD
угол A
больше угла C
и угол D
больше угла B
. Докажите, что BC\gt\frac{1}{2}AD
.
Решение. а) Против большего угла треугольника лежит большая сторона, поэтому AC\lt BC
. Значит,
AB\lt AC+BC\lt BC+BC=2BC.
Следовательно, BC\gt\frac{1}{2}AB
.
б) Из двух точек A
и D
выберем ту, которая расположена ближе к прямой BC
(если расстояния одинаковы, то выберем любую из них). Пусть это будет точка A
(рис. 2). На продолжении отрезка AB
за точку A
возьмём точку E
. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть M
— точка пересечения этой прямой с прямой DC
.
Четырёхугольник ABCM
— трапеция, причём \angle B+\angle C\lt180^{\circ}
(так как \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}~\mbox{и}~\angle A+\angle D\gt\angle C+\angle B)
Отсюда следует, что AM\lt BC
.
Луч AD
проходит между сторонами угла EAM
или совпадает с лучом AM
(в силу выбора точки A
), поэтому
\angle DAM\lt\angle EAM=\angle ABC\lt\angle D.
Применяя к треугольнику DAM
утверждение пункта а), получим, что AM\gt\frac{1}{2}AD
, а так как AM\lt BC
, то BC\gt\frac{1}{2}AD
.