4342. Сторона AB
треугольника ABC
равна c
. На стороне AB
взята такая точка M
, что \angle CMA=\varphi
. Найдите расстояние между ортоцентрами (точками пересечения высот) треугольников AMC
и BMC
.
Ответ. c|\ctg\varphi|
.
Решение. Пусть D_{a}
и D_{b}
— проекции ортоцентров H_{a}
и H_{b}
треугольников соответственно AMC
и BMC
на прямую CM
. Точки H_{a}
и H_{b}
лежат на перпендикуляре, опущенном из C
на прямую AB
.
Отрезок D_{a}D_{b}
— проекция отрезка AB
на прямую CM
, а так как угол между прямыми AB
и CM
равен \varphi
или 180^{\circ}=\varphi
, то
D_{a}D_{b}=AB\cdot|\cos\varphi|=c|\cos\varphi|.
С другой стороны, отрезок D_{a}D_{b}
— проекция отрезка H_{a}H_{b}
на прямую CM
, а так как угол между прямыми H_{a}H_{b}
и CM
равен 90^{\circ}-\varphi
или 90^{\circ}+\varphi
, то
H_{a}H_{b}=\frac{D_{a}D_{b}}{\sin\varphi}=\frac{c|\cos\varphi|}{\sin\varphi}=c|\ctg\varphi|.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Турнир городов. — 1992-1993, XIV, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант