4343. Четырёхугольник ABCD
— вписанный, M
— точка пересечения прямых AB
и CD
, N
— точка пересечения прямых BC
и AD
. Известно, что BM=DN
. Докажите, что CM=CN
.
Указание. Используйте подобие треугольников ACM
и BDM
, а также треугольников DBN
и CAN
(или примените теорему синусов к треугольникам BCM
и CDN
).
Решение. Первый способ. Заметим, что треугольники ACM
и DBM
подобны: угол M
у них общий, а углы BAC
и BDC
вписаны в окружность и опираются на одну дугу. Эти углы являются углами наших треугольников, если точка M
и обе точки A
и D
лежат по разные стороны от прямой BC
(рис. 1). Если же это не так (рис. 2), то BAC
и BDC
— внешние углы рассматриваемых треугольников.
Из подобия треугольников ACM
и BDM
следует, что \frac{BM}{CM}=\frac{BD}{AC}
. Аналогично \frac{DN}{CN}=\frac{BD}{AC}
, откуда \frac{BM}{CM}=\frac{DN}{CN}
, а так как BM=DN
, то CM=CN
.
Второй способ. Применив теорему синусов к треугольникам BCM
и CDN
, получим, что
\frac{BM}{\sin\angle BCM}=\frac{CM}{\sin\angle CBM},~\frac{DN}{\sin\angle DCN}=\frac{CN}{\sin\angle CDN}.
Углы BCM
и DCN
равны или в сумме составляют 180^{\circ}
. То же верно для углов CBM
и CDN
, а так как BM=DN
, то CM=CN
.
Автор: Назаров Ф. Л.
Источник: Турнир городов. — 1992-1993, XIV, весенний тур, старшие классы, тренировочный вариант