4344. На стороне AB
треугольника ABC
внешним образом построен квадрат с центром в точке O
. Точки M
и N
— середины сторон BC
и AC
, а длины этих сторон равны соответственно a
и b
. Найдите наибольшее возможное значение суммы OM+ON
(когда угол C
меняется).
Ответ. \frac{(a+b)(1+\sqrt{2})}{2}
.
Решение. Первый способ. Две другие вершины обозначим через D
и E
, чтобы получился квадрат ABDE
(рис. 1). Заметим, что NO=\frac{1}{2}CD
как средняя линия треугольника ACD
(если точки C
, A
и D
лежат на одной прямой, то всё равно NO=\frac{1}{2}CD
). Аналогично OM=\frac{1}{2}CE
. Поэтому искомая величина (наибольшее значение суммы OM+ON
) есть половина наибольшего возможного значения суммы CE+CD
.
Положим c=AB
, \gamma=\angle ACB
. Обозначим через h
высоту треугольника ABC
, опущенную из вершины C
. По теореме косинусов
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2\cdot BC\cdot BD\cdot\cos\angle CBD=
=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\left(90^{\circ}+\angle ABC\right)=a^{2}+c^{2}+2ac\sin\angle ABC.
Но a\sin\angle ABC=h
. Поэтому
CD^{2}=a^{2}+c^{2}+2hc.
Поскольку
2hc=4S_{\triangle ABC}=2ab\sin\gamma,~c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,
то
CD^{2}=2a^{2}+b^{2}+2ab(\sin\gamma-\cos\gamma)=2a^{2}+b^{2}+2\sqrt{2}ab\sin\left(\gamma-45^{\circ}\right).
Аналогично находим, что
CE^{2}=a^{2}+2b^{2}+2\sqrt{2}ab\sin\left(\gamma-45^{\circ}\right).
Величина CD^{2}
достигает максимума, когда \gamma=135^{\circ}
; CE^{2}
достигает максимума при том же значении \gamma
. Найдём значение этого максимума:
CD^{2}_{\max}=2a^{2}+b^{2}+2\sqrt{2}ab=(a\sqrt{2}+b)^{2},~CE^{2}_{\max}=a^{2}+2b^{2}+2\sqrt{2}ab=(a+b\sqrt{2})^{2},
(OM+ON)_{\max}=\frac{1}{2}(CD_{\max}+CE_{\max})=\frac{1}{2}\left((a\sqrt{2}+b)+(a+b\sqrt{2})\right)=\frac{(a+b)(1+\sqrt{2})}{2}.
Второй способ. Обозначим \angle ACB=\gamma
. На стороне BC
треугольника ABC
построим внешним образом квадрат CBD_{1}E_{1}
(рис. 2). Треугольники ABD_{1}
и DBC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, CD=AD_{1}
.
В треугольнике ACD_{1}
две стороны известны: AC=b
, CD_{1}=a\sqrt{2}
. Кроме того, \angle ACD_{1}=\gamma+45^{\circ}
. Третья сторона AD_{1}
принимает максимальное значение, когда треугольник вырождается в отрезок. Поэтому CD
достигает максимума, равного b+a\sqrt{2}
при \gamma=135^{\circ}
. Аналогично CE
достигает максимума, равного a+b\sqrt{2}
, при том же значении \gamma
. Итак, каждая из величин OM
, ON
достигает максимума при \gamma=135^{\circ}
. Значит, и их сумма максимальна при \gamma=135^{\circ}
. Следовательно,
(OM+ON)_{\max}=b+a\sqrt{2}+a+b\sqrt{2}=\frac{(a+b)(1+\sqrt{2})}{2}.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1993, LVI, 10 класс
Источник: Турнир городов. — 1992-1993, XIV, весенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 6, с. 22