4345. Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что треугольник — равнобедренный.
Указание. Пусть AM
— биссектриса и одновременно медиана треугольника ABC
. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложите отрезок MK
, равный AM
.
Решение. Пусть AM
— биссектриса и одновременно медиана треугольника ABC
. На продолжении отрезка AM
за точку M
отложим отрезок MK
, равный AM
. Треугольник KMC
равен треугольнику AMB
по двум сторонам и углу между ними. Значит, CK=AB
и \angle AKC=\angle BAK
, а так как AM
— биссектриса угла BAC
, то \angle AKC=\angle KAC
. Поэтому треугольник AKC
— равнобедренный. Следовательно, AC=CK=AB
, т. е. треугольник ABC
— также равнобедренный.