4347. В треугольник ABC
вписана окружность с центром O
. Медиана AD
пересекает её в точках X
и Y
. Найдите угол XOY
, если AC=AB+AD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Указание. Докажите, что центр вписанной окружности лежит внутри треугольника ABD
и воспользуйтесь методом площадей.
Решение. Заметим, что AC=AB+AD\gt AB
, поэтому \angle BAD\gt\angle CAD
. Значит, биссектриса AO
угла BAC
проходит между сторонами угла BAD
. Следовательно, точка O
лежит внутри треугольника ABD
. Тогда
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBD}+S_{\triangle AOD}.
Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то 2S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABC}
. Поэтому
2(S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBD}+S_{\triangle AOD})=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OBC}+S_{\triangle AOC}.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, а расстояние от точки O
до медианы AD
равно d
. Тогда
r\cdot AB+r\cdot BD+d\cdot AD=\frac{1}{2}(r\cdot AB+r\cdot BC+r\cdot AC).
Поскольку AC=AB+AD
и BC=2BD
, то из последнего равенства получим, что
d\cdot AD=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)-r(AB+BD)=
=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC-2AB-2BD)=\frac{1}{2}r(BC+AC-AB-2BD)=
=\frac{1}{2}r(BC+AB+AD-AB-2BD)=\frac{1}{2}(BC+AD-2BD)=
=\frac{1}{2}(BC+AD-BC)=\frac{1}{2}r\cdot AD.
Поэтому d=\frac{1}{2}r
, т. е. высота равнобедренного треугольника XOY
, опущенная на его основание XY
, равна половине боковой стороны OX=OY=r
. Следовательно, \angle XOY=120^{\circ}
.