4349. Треугольник ABC
вписан в окружность с центром O
. Прямые AC
и BC
вторично пересекают окружность, проходящую через точки A
, O
и B
, в точках E
и K
. Докажите, что прямые OC
и EK
перпендикулярны.
Решение. Утверждение очевидно в случае, когда точка C
совпадает с серединой C'
дуги ACB
.
Пусть \angle COC'=\alpha
. Тогда угол между прямыми E'K'
и EK
равен
\angle EAE'+\angle KBK'=\angle CAC'+\angle CBC'=\alpha.
Значит, прямые EK
и OC
получаются из прямых E'K'
и OC'
поворотом на угол \alpha
, а так как OC'\perp E'K'
, то OC\perp EK
.