4351. Прямоугольник ABCD
с площадью 1 сложили по прямой так, что точка C
совпала с A
. Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше \frac{3}{4}
.
Решение. Ясно, что ABCD
— не квадрат (иначе при сложении получился бы треугольник). Пусть для определённости AB\lt BC
. Чтобы точка C
совпала с точкой A
, нужно, чтобы прямая сгиба l
была серединным перпендикуляром к диагонали AC
. Если M
и N
точки пересечения прямой l
со сторонами BC
и AD
соответственно, то четырёхугольник AMCN
— ромб, так как его диагонали AC
и MN
перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Тогда
AN=AM\gt MB,~S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}BM\cdot AB\lt\frac{1}{2}AN\cdot AB=S_{\triangle AMN}.
Значит,
S_{\triangle AMN}\gt\frac{1}{2}S_{ABMN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{4},~
Пусть D'
— точка, симметричная вершине D
относительно прямой l
. Тогда ABMND'
— пятиугольник, полученный в результате сгиба, и
S_{ABMND'}=S_{\triangle AMN}+S_{\triangle ABM}+S_{\triangle AD'N}=S_{\triangle AMN}+S_{\triangle ABM}+S_{\triangle CDN}=
=S_{ABCD}-S_{\triangle CMN}=1-S_{\triangle AMN}\lt1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.