4354. Наибольший угол остроугольного треугольника в пять раз больше наименьшего. Найдите углы этого треугольника, если известно, что все они выражаются целым числом градусов.
Ответ. 17^{\circ}
, 78^{\circ}
, 85^{\circ}
.
Решение. Пусть \alpha\geqslant\beta\geqslant\gamma
— углы треугольника, причём \alpha=5\gamma\lt90^{\circ}
. Тогда
180^{\circ}=\alpha+\beta+\gamma\leqslant5\gamma+5\gamma+\gamma.
Значит,
11\gamma\geqslant180^{\circ},~5\gamma\lt90^{\circ}.
Поэтому
\frac{180^{\circ}}{11}\leqslant\gamma\lt\frac{90^{\circ}}{5}=18^{\circ},
а так как \gamma
выражается целым числом градусов, то \gamma=17^{\circ}
. Тогда
\alpha=5\gamma=85^{\circ},~\beta=180^{\circ}-\alpha-\gamma=78^{\circ}.