4356. В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой стороны лежит наименьший угол треугольника.
Решение. Первый способ. Поскольку против меньшей стороны треугольника лежит его меньший угол, достаточно показать, что если a
, b
и c
— стороны треугольника и при этом a=\frac{b+c}{3}
, то a
— наименьшая сторона.
Действительно, предположим, например, что a\geqslant b
. Тогда
\frac{b+c}{3}=a\geqslant b~\Rightarrow~c\geqslant2b.
С другой стороны, по неравенству треугольника a+b\gt c
, поэтому
\frac{b+c}{3}+b\gt c~\Rightarrow~2b\gt c,
что противоречит ранее полученному неравенству.
Второй способ. Пусть 3a=b+c
. Так как c\lt a+b
, то 3a\lt b+(a+b)
, откуда a\lt b
. Аналогично доказывается, что a\lt c
. Таким образом, a
— наименьшая сторона треугольника, и, значит, против неё лежит наименьший угол.
Автор: Толпыго А. К.
Источник: Турнир городов. — 1996-1997, XVIII, весенний тур, старшие классы, основной вариант
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1997 LX, 9 класс
Источник: Фёдоров Р. М. и др. Московские математические олимпиады. 1993—2005 / Под ред. В. М. Тихомирова. — М.: МЦНМО, 2006. — № 1, с. 34