4360. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке C
, а второй — в точке D
. Пусть B
— ближайшая к прямой CD
точка пересечения окружностей. Прямая CB
пересекла вторую окружность второй раз в точке E
. Докажите, что AD
— биссектриса угла CAE
.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой и теорему о внешнем угле треугольника.
Решение. Обозначим \angle BCD=\alpha
, \angle BDC=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CAB=\angle BCD=\alpha,~\angle DAB=\angle BDC=\beta.
Поэтому
\angle CAD=\angle CAB+\angle DAB=\alpha+\beta.
Поскольку DBE
— внешний угол треугольника DBC
, то
\angle DBE=\angle BCD+\angle BDC=\alpha+\beta.
Вписанные во вторую окружность углы DAE
и DBE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DAE=\angle DBE=\alpha+\beta=\angle CAD.
Следовательно, AD
— биссектриса угла CAE
.