4363. На стороне AB
параллелограмма ABCD
(или на её продолжении) взята точка M
, для которой \angle MAD=\angle AMO
, где O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что MD=MC
.
Решение. Если точка M
совпадает с точкой B
, то утверждение очевидно.
Пусть точка M
лежит на продолжении стороны AB
за точку B
. Тогда точка M'
, симметричная M
относительно центра O
параллелограмма, лежит на продолжении стороны CD
за вершину D
, причём DM'=BM
.
Диагонали AD
и MM'
трапеции AMDM'
образуют равные углы с основанием AM
, поэтому трапеция AMDM'
— равнобедренная. Кроме того, так как AMCM'
— параллелограмм, то MC=AM'=MD
.
Пусть точка M
лежит на стороне AB
. Тогда точка, симметричная ей относительно O
лежит на стороне CD
. Трапеция AMM'D
равнобедренная, так как её углы при основании AM
равны. Значит, MD=AM'
, а так как AMCM'
— параллелограмм, то AM'=MC
. Следовательно, MD=AM'=MC
.
Аналогично для случая, когда точка M
лежит на продолжении стороны AB
за точку A
.