4366. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
во внешнюю сторону построен квадрат ABDE
. Дано: AC=1
и BC=3
. В каком отношении делит сторону DE
биссектриса угла C
?
Ответ. 1:3
.
Указание. Пусть O
— центр данного квадрата. Докажите, что CO
— биссектриса угла C
.
Решение. Пусть O
— центр данного квадрата. Поскольку из точек C
и O
отрезок AB
виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Из равенства хорд AO
и BO
следует равенство вписанных углов ACO
и BCO
, поэтому луч CO
— биссектриса угла ACB
. По свойству биссектрисы треугольника прямая CO
делит сторону AB
квадрата на отрезки, отношение которых равно отношению сторон AC
и BC
треугольника ABC
, т. е. 1:3
. Поскольку эта прямая проходит через центр квадрата, то она делит противоположную сторону DE
в том же отношении.
Автор: Блинков А. Д.
Источник: Турнир городов. — 1998-1999, XX, весенний тур, младшие классы, тренировочный вариант
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2015, XXIV, письменный индивидуальный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2016, № 3, с. 50, задача 2