4378. В треугольнике ABC
точка D
является основанием высоты, опущенной из точки A
на сторону BC
. Окружность диаметра 2\sqrt{3}
проходит через точки B
и D
и касается внешним образом окружности, описанной около треугольника ACD
. Известно, что AC=4\sqrt{3}
, а величина угла ABC
равна 30^{\circ}
. Найдите длину стороны BC
.
Ответ. \frac{36}{\sqrt{13}}
.
Решение. Центр O
окружности, описанной около прямоугольного треугольника ACD
, — середина стороны AC
. Центр Q
окружности, проходящей через точки B
и D
и касающейся описанной окружности треугольника ACD
, а также точки D
и O
лежат на одной прямой (линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания), а так как окружности касаются внешним образом, то точка D
лежит на отрезке OQ
, поэтому BC=BD+DC
.
Равнобедренные треугольники BQD
и COD
подобны, так как
\angle DBQ=\angle BDQ=\angle ODC=\angle OCD,
причём коэффициент подобия равен \frac{DQ}{DO}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}
.
Обозначим BD=x
. Тогда
CD=2BD=2x,~AD=BD\tg\angle ABC=x\tg30^{\circ}=\frac{x}{\sqrt{3}}.
По теореме Пифагора DC^{2}+AD^{2}=AC^{2}
, или 4x^{2}+\frac{x^{2}}{3}=(4\sqrt{3})^{2}
. Отсюда находим, что x=\frac{12}{\sqrt{13}}
. Следовательно, BC=3x=\frac{36}{\sqrt{13}}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 2007, отделение специалистов, июль, № 3, вариант 1