4384. Наибольшая сторона четырёхугольника равна 3, наименьшая сторона равна 1. Найдите остальные его стороны, если известно, что тангенсы всех четырёх внутренних углов четырёхугольника равны между собой.
Ответ. \sqrt{2}
, 2\sqrt{2}
.
Решение. Предположим, что четырёхугольник выпуклый. Тогда все его углы либо острые, либо тупые (так как их тангенсы равны), что невозможно, поскольку их сумма равна 360^{\circ}
. Значит, четырёхугольник невыпуклый. Тогда один из его углов больше развёрнутого, а остальные три угла — острые.
Пусть острые углы при вершинах B
, C
и D
четырёхугольника ABCD
равны \alpha
. Тогда угол при вершине A
равен 360^{\circ}-3\alpha
. По условию \tg(360^{\circ}-3\alpha)=\tg\alpha
, или -\tg3\alpha=\tg\alpha
. Отсюда следует, что \alpha=-3\alpha+180^{\circ}k
(где k
— целое), или \alpha=45^{\circ}k
, а так как 0^{\circ}\lt\alpha\lt90^{\circ}
, то \alpha=45^{\circ}
. Тогда внутренний угол четырёхугольника при вершине A
равен 225^{\circ}
.
Продолжим стороны AB
и AD
до пересечения со сторонами CD
и BC
в точках K
и M
соответственно. Тогда BKC
и CMD
— равнобедренные прямоугольные треугольники, поэтому AB\lt BK\lt BC
и AD\lt MD\lt CD
. Значит, либо AB
, либо AD
— наименьшая сторона четырёхугольника ABCD
. Будем считать, что это AB
. Тогда AB=1
.
Пусть CD=3
. Обозначим AK=x
. Тогда
DK=AK=x,~CK=BK=1+x,~
а так как CK+DK=CD=3
, то 1+x+x=3
, откуда находим, что x=1
. Следовательно,
BC=BK\sqrt{2}=(1+x)\sqrt{2}=2\sqrt{2}\lt3,~AD=AK\sqrt{2}=x\sqrt{2}=\sqrt{2}\gt1.
Если же наибольшая сторона четырёхугольника — сторона BC
, т. е. BC=3
, то, рассуждая аналогично, получим, что
CK=1+x=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}},~DK=AK=x=\frac{3}{\sqrt{2}}-1,~
CD=CK+DK=1+2x=1+3\sqrt{2}-2=3\sqrt{2}-1\gt3=BC,
что противоречит предположению о том, что BC
— наибольшая сторона четырёхугольника.