4385. Найдите площадь вписанной в окружность трапеции, если диагональ трапеции равна 2, а из центра окружности боковая сторона видна под углом 60^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
, BH
— высота трапеции. Трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная, поэтому DH=\frac{1}{2}(AD+BC)
.
По условию задачи \angle AOB=60^{\circ}
, а так как AOB
— центральный угол, соответствующий вписанному углу ADB
, то \angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOD=30^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
BH=BD\sin\angle BDH=\frac{1}{2}BD=1,~DH=BH\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=DH\cdot BH=\sqrt{3}\cdot1=\sqrt{3}.