4387. В ромб, сторона которого равна 20 см, вписан круг. Найдите площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в \frac{4}{3}
раза.
Ответ. 92{,}16\pi
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
ромба ABCD
пересекаются в точке O
, причём \frac{AC}{BD}=\frac{4}{3}
. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому O
— центр вписанной в ромб окружности, а так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то \frac{AO}{BO}=\frac{4}{3}
.
Если окружность касается стороны AB
ромба в точке M
, то радиус OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
(диагонали ромба взаимно перпендикулярны). Положим AO=4x
, BO=3x
. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{16x^{2}+9x^{2}}=5x,
а так как сторона ромба равна 20, то 5x=20
, откуда находим, что x=4
.
Из равенства AB\cdot OM=AO\cdot BO
находим, что
OM=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{4x\cdot3x}{5x}=\frac{12}{5}x=\frac{48}{5}.
Тогда площадь круга радиуса OM=\frac{48}{5}
равна
\pi OM^{2}=\pi\cdot\left(\frac{48}{5}\right)^{2}=\frac{2304}{25}\pi=\frac{9216}{100}\pi=92{,}16\pi.