4388. Площадь круга, вписанного в ромб, в два раза меньше площади ромба. Найдите величину острого угла ромба.
Ответ. \arcsin\frac{2}{\pi}
.
Решение. Пусть круг радиуса r
с центром в точке O
, вписанный в ромб ABCD
со стороной a
, касается сторон BC
и AD
в точках M
и N
соответственно. Из условия задачи следует, что
\frac{\pi r^{2}}{S_{ABCD}}=\frac{\pi r^{2}}{4S_{\triangle BOC}}=\frac{\pi r^{2}}{4\cdot\frac{1}{2}ar}=\frac{\pi r}{2a}=\frac{1}{2},
откуда находим, что \frac{r}{a}=\frac{1}{\pi}
.
Предположим, что острый угол ромба — это угол при вершине A
. Опустим перпендикуляр BH
из вершины B
на сторону AD
. Тогда BHNM
— прямоугольник, поэтому BH=MN=2OM=2r
. Следовательно,
\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{2r}{a}=2\cdot\frac{r}{a}=2\cdot\frac{1}{\pi}=\frac{2}{\pi}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет государственного управления МГУ. — 2009 июль, № 3, вариант 1