4389. В треугольнике ABC
проведены медиана AE
и биссектриса CD
, пересекающиеся в точке M
. Через точку M
проведена прямая, параллельная стороне AC
и пересекающая стороны AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника PBQ
, если длина стороны AC
равна 3\sqrt{3}
, длина стороны BC
равна 4\sqrt{3}
, величина угла ACB
равна \frac{\pi}{3}
.
Ответ. \frac{7\sqrt{13}}{10}
.
Решение. По теореме косинусов
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\frac{\pi}{3}}=\sqrt{9\cdot3+16\cdot3-2\cdot3\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{39}.
По теореме синусов \frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin\frac{\pi}{3}}
, откуда находим, что
\sin B=\frac{AC\sin\frac{\pi}{3}}{AB}=\frac{3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{CQ}{QE}=\frac{AM}{ME}=\frac{3}{2}
, значит,
\frac{BQ}{BC}=\frac{BE+EQ}{2BE}=\frac{EC+EQ}{2CE}=\frac{5+2}{10}=\frac{7}{10}.
Треугольник PBQ
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{7}{10}
, следовательно,
PQ=\frac{7}{10}AC=\frac{7}{10}\cdot3\sqrt{3}=\frac{21\sqrt{3}}{10}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около треугольника PBQ
. По теореме синусов
R=\frac{PQ}{2\sin B}=\frac{\frac{21\sqrt{3}}{10}}{2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}}=\frac{7\sqrt{13}}{10}.