4396. В треугольнике DCB
угол C
— тупой. Описанная около треугольника DCB
окружность радиуса R
пересекает высоту DA
в точке E
так, что ED=EC
. Известно, что периметр треугольника BCE
равен \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}+6}{2}
и \angle DEB=105^{\circ}
. Найдите R
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Обозначим \angle CBE=\alpha
. Вписанные углы DCE
и CDE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DCE=\angle CDE=\angle CBE=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
105^{\circ}=\angle BCD=\angle CAD+\angle CDE=90^{\circ}+\alpha,
откуда находим, что \alpha=15^{\circ}
, а так как вписанные углы DBE
и CDE
опираются на равные дуги, то \angle DBE=\angle CBE=\alpha=15^{\circ}
. Следовательно,
\angle BEC=\angle BDC=180^{\circ}-\angle BCD-\angle CBD=180^{\circ}-105^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ},
\angle BCE=180^{\circ}-\angle CBE-\angle BEC=180^{\circ}-15^{\circ}-45^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме синусов
CE=2R\sin15^{\circ}=2R\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{3}=\frac{R(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2},
BC=2R\sin45^{\circ}=R\sqrt{2},~BE=2R\sin120^{\circ}=R\sqrt{3}.
По условию задачи
\frac{R(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}+R\sqrt{2}+R\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}+6}{2}.
Следовательно,
R=\frac{\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}+6}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}+6}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}.