4399. В треугольнике ABC
, известно, что BC=a
, AB=c
, BM
— биссектриса треугольника ABC
. Разложите вектор \overrightarrow{MB}
по векторам \overrightarrow{BC}
и \overrightarrow{BA}
.
Ответ. \overrightarrow{MB}=-\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+c}\overrightarrow{BA}
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника \frac{AM}{CM}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}
. Поэтому
\overrightarrow{BM}=\frac{MC}{AC}\overrightarrow{BA}+\frac{AM}{AC}\overrightarrow{BC}=\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}+\frac{a}{a+c}\overrightarrow{BA}.
Следовательно,
\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{BM}=-\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}-\frac{a}{a+c}\overrightarrow{BA}.