4400. Найдите площадь трапеции ABCD
с боковой стороной BC=5
, если расстояния от вершин A
и D
до прямой BC
равны 3 и 7 соответственно.
Ответ. 25.
Указание. Спроектируйте середину боковой стороны AD
на прямую BC
.
Решение. Пусть M
и N
— середины боковых сторон AD
и BC
соответственно; A_{1}
, M_{1}
и D_{1}
— проекции точек соответственно A
, M
и D
на прямую BC
; BH
— высота трапеции. Обозначим \angle BCD=\alpha
.
Поскольку MM_{1}
— средняя линия трапеции ADD_{1}A_{1}
, то
MM_{1}=\frac{1}{2}(AA_{1}+DD_{1})=\frac{1}{2}(3+7)=5.
Из прямоугольных треугольников MM_{1}N
и BHC
находим, что
MN=\frac{MM_{1}}{\sin\angle MNM_{1}}=\frac{5}{\sin\alpha},
BH=BC\sin\angle BCD=5\sin\alpha.
Следовательно,
S_{ABCD}=MN\cdot BH=\frac{5}{\sin\alpha}\cdot5\sin\alpha=25.