4414. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали BD
и AC
равны стороне AB
. Найдите угол BCD
и сторону AB
, если угол CDA
— прямой, BC=4
, AD=5
.
Ответ. \arccos\frac{5}{8}+90^{\circ}
, \frac{4\sqrt{22}}{\sqrt{13}}
.
Решение. Пусть M
— проекция вершины B
на прямую AD
, а K
— проекция вершины C
на прямую BM
. Поскольку MKCD
— прямоугольник, то KC=MB
и KM=CD
.
Высота равнобедренного треугольника ABD
является его медианой, значит AM=MD=\frac{5}{2}
.
Обозначим, AB=AC=BD=x
. Из прямоугольных треугольников BKC
, ACD
и BMD
находим, что
BK=\sqrt{BC^{2}-KC^{2}}=\sqrt{BC^{2}-MD^{2}}=\sqrt{4^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{39}}{2},
CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{x^{2}-25},
BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}-\frac{25}{4}}.
Поскольку BK+KM=BM
, имеем уравнение
\frac{\sqrt{39}}{2}+\sqrt{x^{2}-25}=\sqrt{x^{2}-\frac{25}{4}},
из которого находим, что x=\frac{4\sqrt{22}}{\sqrt{13}}
. Из прямоугольного треугольника BKC
находим, что
\cos\angle BCK=\frac{CK}{BC}=\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{5}{8}.
Следовательно,
\angle BCD=\angle BCK+\angle KCD=\arccos\frac{5}{8}+90^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 2005 вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 168