4416. Высота треугольника, равная 2, делит угол треугольника в отношении 2:1
, а основание треугольника — на части, меньшая из которых равна 1. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{11}{3}
.
Решение. Первый способ. Пусть BD=2
— высота треугольника ABC
, AD=1
. У прямоугольных треугольников ABD
и CBD
общий катет BD
, а по условию задачи катет AD
первого треугольника меньше катета CD
второго. Значит, \angle ABD\lt\angle CBD
.
Обозначим \angle ABD=\alpha
. Тогда \angle CBD=2\alpha
. Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
\tg\alpha=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}.
Тогда
\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Тогда в прямоугольном треугольнике CBD
CD=BD\cdot\tg\angle CBD=2\cdot\tg2\alpha=2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\left(1+\frac{8}{3}\right)\cdot2=\frac{11}{3}.
Второй способ. Пусть BD=2
— высота треугольника ABC
, AD=1
. У прямоугольных треугольников ABD
и CBD
общий катет BD
, а по условию задачи катет AD
первого треугольника меньше катета CD
второго. Значит, \angle ABD\lt\angle CBD
.
Обозначим \angle ABD=\alpha
. Тогда \angle CBD=2\alpha
. Пусть биссектриса угла DBC
пересекает отрезок CD
в точке E
. Тогда треугольник ABE
— равнобедренный, так как его высота BD
является биссектрисой. Поэтому DE=AD=1
.
Поскольку BD=2DE
, то по свойству биссектрисы треугольника BC=2CE
. Обозначим CE=x
. По теореме Пифагора
BC^{2}=BD^{2}+CD^{2},~\mbox{или}~4x^{2}=4+(1+x)^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{5}{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\left(1+1+\frac{5}{3}\right)\cdot2=\frac{11}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на социологический факультет МГУ. — 2005 вариант 1, № 4
Источник: Вступительные экзамены и олимпиады по математике 2003—2005 гг. / Под общ. ред. И. Н. Сергеева. — М.: Изд-во ЦПИ при мехмате МГУ, 2006. — с. 190
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — 10.381, с. 184