4420. На стороне AB
выпуклого четырёхугольника ABCD
выбрана точка M
так, что \angle AMD=\angle ADB
и \angle ACM=\angle ABC
. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки A
до прямой CD
к расстоянию от точки C
до прямой AD
равен 2, CD=20
. Найдите радиус вписанной в треугольник ACD
окружности.
Ответ. 4\sqrt{10}-2\sqrt{15}
.
Решение. Пусть h_{C}
— расстояние от точки A
до прямой CD
, а h_{C}
— расстояние от точки C
до прямой AD
. По условию 3\left(\frac{h_{A}}{h_{C}}\right)^{2}=2
, поэтому
\frac{h_{A}}{h_{C}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Поскольку высоты треугольника ACD
обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то
\frac{AD}{CD}=\frac{h_{A}}{h_{C}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Поэтому
AD=CD\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
В треугольниках AMD
и ADB
угол при вершине A
общий, а \angle AMD=\angle ADB
по условию, значит, эти треугольники подобны по двум углам. Аналогично, подобны треугольники ABC
и ACM
. Тогда
\frac{AM}{AD}=\frac{AD}{AB},~\frac{AM}{AC}=\frac{AC}{AB},
откуда получаем, что
AD^{2}=AM\cdot AB,~AC^{2}=AM\cdot AB.
Значит, AD=AC
, т. е. треугольник ACD
— равнобедренный,
AC=AD=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}},~CD=20.
Пусть p
— полупериметр этого треугольника, r
— радиус вписанной окружности. Тогда
p=10+\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=10\left(1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right),
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}-\frac{1}{4}CD^{2}}=\frac{100\sqrt{5}}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
r=\frac{S_{\triangle ACD}}{p}=\frac{\frac{100\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{10\left(1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)}=\frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}=4\sqrt{10}-2\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — (отделение специалистов) 2005 вариант 1, № 4