4424. В треугольнике ABC
угол C
— прямой, тангенс угла A
равен \frac{1}{4}
, медиана BD
равна \sqrt{5}
. Найдите площадь треугольника ABD
и радиус окружности, описанной около треугольника ABD
.
Ответ. S_{\triangle ABD}=1
; R=\frac{\sqrt{85}}{2}
.
Решение. Обозначим BC=x
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
AC=\frac{BC}{\tg\alpha}=\frac{x}{\frac{1}{4}}=4x.
Применяя теорему Пифагора к треугольнику BCD
, получим, что
BD^{2}=BC^{2}+CD^{2},~\mbox{или}~x^{2}+4x^{2}=5,
откуда x=1
.
Поскольку медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника,
S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{4}\cdot1\cdot4=1.
Поскольку \tg\alpha=\frac{1}{4}
, то
\cos^{2}\alpha=\frac{1}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{1}{1+\frac{1}{16}}=\frac{16}{17},~\sin^{2}\alpha=\frac{1}{17}.
Если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABD
, то
R=\frac{BD}{2\sin\angle BAD}=\frac{\sqrt{5}}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{17}}}=\frac{\sqrt{85}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 2005 вариант 1, № 3