4426. Вписанная в треугольник ABC
окружность касается его сторон в точках K
, N
и M
. Известно, что в треугольнике KNM
угол M
равен 75^{\circ}
, произведение всех сторон равно 9+6\sqrt{3}
, а вершина K
делит отрезок AC
пополам. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. 2(2+\sqrt{3})
; 2(2+\sqrt{3})
; 2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})
.
Решение. Из условия задачи следует, что точка K
лежит на стороне AC
. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах BC
и AB
соответственно. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому
AN=AK=CK=CM,~BM=BN,~AB=AN+BN=AM+BM=BC.
Значит, треугольник ABC
— равнобедренный. Из равенства равнобедренных треугольников AKN
и CKM
следует, что KN=KM
, т. е. треугольник KMN
— также равнобедренный. Поэтому
\angle KNM=\angle KMN=75^{\circ},~\angle MKN=30^{\circ}.
Пусть R
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
(она же описанная окружность треугольника KLM
). Тогда
KN=KM=2R\sin75^{\circ},~MN=2R\sin30^{\circ}.
Из условия задачи следует, что
(2R\sin75^{\circ})^{2}2R\sin30^{\circ}=9+6\sqrt{3}.
Отсюда находим, что
R^{3}=\frac{9+6\sqrt{3}}{8\sin^{2}75^{\circ}\sin30^{\circ}}=\frac{9+6\sqrt{3}}{8\sin^{2}75^{\circ}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{9+6\sqrt{3}}{2(1-\cos150^{\circ})}=
=\frac{9+6\sqrt{3}}{2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{9+6\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{3(3+2\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)}{2+\sqrt{3}}=3\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{3}.
Следовательно,
R=\sqrt{3},~KN=KM=2R\sin75^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2},
MN=2R\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}.
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle ANK=\angle MNK=75^{\circ}.
Поэтому равнобедренные треугольники AKN
и KNM
подобны. Значит,
\frac{AK}{KN}=\frac{KN}{MN}~\Leftrightarrow~AK=\frac{KN^{2}}{MN}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\right)^{2}}{\sqrt{3}}=
=\frac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{3\cdot2(\sqrt{3}+1)^{2}}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}(2+\sqrt{3}).
Поэтому
AC=2AK=2\sqrt{3}(2+\sqrt{3}).
В равнобедренном треугольнике ABC
угол при вершине B
равен 120^{\circ}
. Следовательно,
AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{3}}=2(2+\sqrt{3}).