4428. Вписанная в треугольник ABC
окружность радиуса 1 касается его сторон AB
, BC
и AC
соответственно в точках K
, M
и N
. Известно, что \angle MKN=\angle ABC=45^{\circ}
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. 2+\sqrt{2}
, 2+\sqrt{2}
, 2+2\sqrt{2}
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MNC=\angle MKN=45^{\circ},~\angle NMC=\angle MKN=45^{\circ}.
Поэтому \angle ACB=90^{\circ}
. Значит, треугольник ABC
— прямоугольный, а так как \angle ABC=45^{\circ}
, то этот треугольник — равнобедренный.
Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Обозначим AN=AK=x
. Тогда
AB=2x,~AC=x+1,~AC=AB\sin45^{\circ}=x\sqrt{2}.
Из уравнения x+1=x\sqrt{2}
находим, что
x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1.
Следовательно,
AB=BC=2+\sqrt{2},~AC=2+2\sqrt{2}.