4430. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
Указание. Пусть AB=c
, AC=b
— данные стороны треугольника ABC
. Через вершину C
проведите прямую, параллельную медиане BK
.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. При этом AB=c
и AC=b
— две его данные стороны, а медианы CD
и BK
перпендикулярны. Через вершину C
проведём прямую, параллельную BK
. Пусть эта прямая пересекает продолжение стороны AB
в точке E
. Поскольку BK\parallel EC
, а K
— середина AC
, то B
— середина AE
.
Отсюда вытекает следующее построение. Отметим середину D
отрезка AB
. На продолжении отрезка AB
за точку B
отложим отрезок BE
, равный AB
. На отрезке DE
как на диаметре построим окружность. С центром в точке A
радиусом, равным b
, построим вторую окружность. Если эти окружности пересекаются, то каждая точка пересечения есть искомая вершина C
треугольника ABC
.
Задача не имеет решения, если AC\lt AD
или AC\gt AE
, т. е. отношение большего из данных отрезков к длине меньшего превосходит 2.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1962 г., 10 класс.
Источник: Купцов Л. П. и др. Математические олимпиады школьников. 10 кл. — М.: Просвещение, 1998. — с. 7