4433. Точки P
, Q
, R
и S
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и DA
выпуклого четырёхугольника ABCD
, M
— точка внутри этого четырёхугольника, причём APMS
— параллелограмм. Докажите, что CRMQ
— тоже параллелограмм.
Решение. Прямая SM
проходит через середину стороны AD
треугольника ABD
параллельно стороне AB
, значит, эта прямая пересекает сторону BD
в её середине. Аналогично, прямая PM
также проходит через середину BD
. Поэтому точка M
пересечения прямых SM
и PM
— середина диагонали BD
четырёхугольника ABCD
. Тогда RM
и QM
— средние линии треугольника BCD
. Значит, RM\parallel BC
и QM\parallel CD
. Следовательно, CRMQ
— параллелограмм.