4435. Точка D
взята на медиане BM
треугольника ABC
. Через точку D
проведена прямая, параллельная стороне AB
, а через точку C
проведена прямая, параллельная медиане BM
. Две проведённые прямые пересекаются в точке E
. Докажите, что BE=AD
Указание. Через точку M
проведите прямую, параллельную DE
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно DE
, пересекает прямую CE
в точке F
. Тогда четырёхугольник MDEF
— параллелограмм, поэтому MF=DE
.
Треугольник MFC
равен треугольнику ABM
по стороне и двум прилежащим к ней углам (AM=MC
, \angle BAM=\angle FMC
, \angle AMB=\angle MCF
). Значит, AB=MF=DE
, а так как AB\parallel DE
, то ABED
— также параллелограмм. Следовательно, BE=AD
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994 г., первый тур, 9 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 18