4436. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AE
и CD
. Различные точки F
и G
на стороне AC
таковы, что DF\parallel BC
и EG\parallel AB
. Докажите, что точки D
, E
, F
и G
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть точка F
расположена между точками A
и G
(рис. 1). Тогда
\angle EGC=\angle BAC=\angle BED=\angle EDF,
а так как \angle FGE=180^{\circ}-\angle EGC
, то \angle EDF+\angle EGF=180^{\circ}
. Следовательно, четырёхугольник DEGF
— вписанный, т. е. точки D
, E
, F
и G
лежат на одной окружности.
Если же точка G
расположена между точками A
и F
(рис. 2), то рассуждая аналогично, докажем, что из точек D
и G
, лежащих по одну сторону от прямой EF
, отрезок EF
виден под одним и тем же углом. Следовательно, и в этом случае точки D
, E
, F
и G
лежат на одной окружности.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994 г., первый тур, 10 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 19