4437. В остроугольном треугольнике ABC
биссектриса, проведённая из вершины A
, высота, проведённая из вершины B
, и серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть M
точка пересечения указанных в условии биссектрисы, высоты BH
и серединного перпендикуляра. Обозначим \angle BAM=\angle CAM=\alpha
. Поскольку точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, то
\angle ABM=\angle BAM=\alpha.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника ABH
равна 90^{\circ}
, поэтому \alpha+2\alpha=90^{\circ}
. Отсюда находим, что \alpha=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=2\alpha=60^{\circ}.
Автор: Иванов С. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994 г., второй тур, 8 класс
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 24
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 2009, XVIII, устный командный тур, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 3, с. 57, задача 2