4438. Докажите, что для углов треугольника верно равенство
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Решение. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
\tg\frac{\gamma}{2}=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{1}{\tg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}}.
Значит,
\tg\frac{\gamma}{2}(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2})=1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2},
откуда
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.49, с. 293