4438. Докажите, что для углов треугольника верно равенство
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Решение. Первый способ. Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
\tg\frac{\gamma}{2}=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{1}{\tg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}}.
Значит,
\tg\frac{\gamma}{2}(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2})=1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2},
откуда
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.
Второй способ. Рассмотрим треугольник с углами \alpha
, \beta
, \gamma
и противоположными сторонами a
, b
и c
соответственно. Пусть p
, S
и r
— его полупериметр, площадь и радиус вписанной окружности соответственно. Тогда
r=(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}=(p-b)\tg\frac{\beta}{2}=(p-c)\tg\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=
=r^{2}\left(\frac{1}{p-a}\cdot\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-b}\cdot\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-c}\cdot\frac{1}{p-a}\right)=
=\frac{r^{2}p}{(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{r^{2}p^{2}}{S^{2}}=\frac{S^{2}}{S^{2}}=1.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.49, с. 293
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 5.6, с. 50