4442. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, а точки H_{1}
и H_{2}
— её проекции на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B
. Докажите, что прямая H_{1}H_{2}
делит сторону AC
пополам.
Решение. Пусть AM
и CN
— высоты треугольника ABC
. Тогда точки M
, N
, A
и C
лежат на окружности, центр P
которой — середина AC
. Значит, точка P
равноудалена от концов отрезка MN
.
С другой стороны, поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, четырёхугольник HH_{2}BH_{1}
— прямоугольник. Диагонали H_{1}H_{2}
и BH
— диаметры описанной окружности прямоугольника. Эта окружность проходит через точки M
и N
, так как из этих точек диаметр BH
виден под прямым углом.
Точка H_{1}
лежит на биссектрисе вписанного угла MBN
, поэтому H_{1}
— середина дуги MN
, не содержащей точки H_{2}
, а так как H_{1}H_{2}
— диаметр окружности, то точки H_{1}
и H_{2}
также равноудалены от концов отрезка MN
.
Таким образом, точки H_{1}
, H_{2}
и середина P
отрезка AC
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку MN
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Фомин Д. В.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 17, с. 24
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994, второй тур, 11 кл.
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 20
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 472, с. 57