4444. Внутри неравнобедренного треугольника ABC
взята такая точка O
, что \angle OBC=\angle OCB=20^{\circ}
. Кроме того \angle BAO+\angle OCA=70^{\circ}
. Найдите угол A
.
Ответ. 70^{\circ}
.
Решение. Через точку C
проведём прямую, перпендикулярную AC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка AO
в точке E
. Тогда
\angle BCE=90^{\circ}-\angle BCO-\angle OCA=
=90^{\circ}-20^{\circ}-\angle OCA=70^{\circ}-\angle OCA=\angle BAO=\angle BAE.
Это означает, что из точек A
и C
, лежащих по одну сторону от прямой BE
, отрезок BE
виден под одним и тем же углом, поэтому четырёхугольник ABEC
вписан в окружность, а так как \angle ACE=90^{\circ}
, то AE
— диаметр этой окружности.
Из условия задачи следует, что точка O
, лежащая на диаметре окружности, равноудалена от концов хорды BC
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к BC
, а так как треугольник ABC
неравнобедренный, то O
— центр окружности. Значит, OA=OC
. Следовательно,
\angle BAC=\angle BAO+\angle OAC=\angle BAO+\angle OCA=70^{\circ}.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1994 г., отборочный тур, 9-10 классы
Источник: Берлов С. Л., Иванов С. В., Кохась К. П. Петербургские математические олимпиады. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2003. — с. 30